1/ Chứng minh nó chia hết cho 3:

Nếu cả x,y đều không chia hết cho 3 thì x², y² chia cho 3 dư 1.

\(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\) chia cho 3 dư 2. Mà không có số chính phương chia 3 dư 2 nên ít nhất x, y chia hết cho 3.

\(\Rightarrow xy⋮3\)

Chứng minh chia hết cho 4.

Nếu cả x, y đều chẵn thì \(xy⋮4\)

Nếu trong x, y có 1 số lẻ (giả sử là x) thì z là số lẻ

\(\Rightarrow x=2k+1;y=2m;z=2n+1\)

\(\Rightarrow4m^2=4n^2+4n+1-4k^2-4k-1=4\left(n^2+n-k^2-k\right)\)

\(\Rightarrow m^2=\left(n^2+n-k^2-k\right)\)

\(\Rightarrow m⋮2\)

\(\Rightarrow y⋮4\)

\(\Rightarrow xy⋮4\)

Với x, y đều lẻ nên z chẵn

\(\Rightarrow x^2=4m+1;y^2=4n+1;z^2=4p\)

\(\Rightarrow\)Không tồn tại x, y, z nguyên thỏa cái này

Vậy \(xy⋮4\)

Từ chứng minh trên 

\(\Rightarrow xy⋮12\)

2/ \(a+b=c+d\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=\left(c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2ab=2cd\)

\(\Leftrightarrow-2ab=-2cd\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=\left(c-d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=c-d\\a-b=d-c\end{cases}}\)

Kết hợp với \(a+b=c+d\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c\\a=d\end{cases}}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

nhóc con rảnh hơi

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}(vì a+b+c=3)\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}= \dfrac{1}{a+b+c}- \dfrac{1}{c }\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{b+a}{ab}=\dfrac{c-a-b-c}{ac+bc+c^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a+b}{-ac-bc-c^2}\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ ab=-ac-bc-c^2 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ ab+ac+bc+c^2=0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ (a+c)(b+c)=0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} a+b=0\\ a+c=0\\ b+c=0 \end{array} \right.\)

Vì vai trò của a,b,c là như nhau nên ta giả sử a+b=0

mà a+b+c=0 

\(\Rightarrow c=3\)

Thay c=3 vào biểu thức P ta có:

\(P=(a-3)^{2017}.(b-3)^{2017}.(3-3)^{2017} =0 \)

Vậy P=0

cho mình sữa lại là  - c²⁰¹⁷ / a²⁰¹⁷ chứ ko phãi là c²⁰¹⁷  - a²⁰¹⁷ nha

\(1-\dfrac{1}{1+a}\ge\dfrac{2017}{b+2017}+\dfrac{2018}{c+2018}\ge2\sqrt{\dfrac{2017.2018}{\left(b+2017\right)\left(c+2018\right)}}\)

\(1-\dfrac{2017}{b+2017}\ge\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2018}{b+2018}\ge2\sqrt{\dfrac{2018}{\left(1+a\right)\left(b+2018\right)}}\)

\(1-\dfrac{2018}{c+2018}\ge\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2017}{b+2017}\ge2\sqrt{\dfrac{2017}{\left(1+a\right)\left(b+2017\right)}}\)

Nhân vế:

\(\dfrac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+2017\right)\left(c+2018\right)}\ge\dfrac{8.2017.2018}{\left(a+1\right)\left(b+2017\right)\left(c+2018\right)}\)

\(\Rightarrow abc\ge8.2017.2018\)

Lời giải:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c})=0$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0$

$\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)})=0$
$\Leftrightarrow (a+b).\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)}=0$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b)(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0$

$\Leftrightarrow (a+b)(c+a)(c+b)=0$

$\Leftrightarrow a+b=0$ hoặc $c+a=0$ hoặc $c+b=0$

Không mất tổng quát giả sử $a+b=0$

$\Leftrightarrow a=-b$.

Khi đó:

$\frac{1}{a^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}=\frac{1}{(-b)^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}$

$=\frac{-1}{b^{2017}}+\frac{1}{b^{2017}}+\frac{1}{c^{2017}}$

$=\frac{1}{c^{2017}}=\frac{1}{(-b)^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}$

$=\frac{1}{a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}$ (đpcm)

Lần sau bạn lưu ghi đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt nhất. Mọi người đọc đề của bạn dễ hiểu thì cũng sẽ dễ giúp hơn.

\(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)}{2}.\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\) (a,b,c là các số dương)

Bạn thay vào A để tính.